完全流体のエネルギー運動量テンソル

本稿の目的: 完全流体のエネルギー運動量テンソルを導出する
本稿の対象: 特殊相対論に触れたことがある人

目標

四元速度 $u^\mu$ で動く完全流体のエネルギー運動量テンソルは次のようになる。
$T^{\mu\nu}=\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right)u^\mu u^\nu+p \eta^{\mu\nu}$
ここで $\rho$ :流体の密度、 $p$ :流体の圧力、 $\eta={\rm diag}(- + + +)$ である。
これは一般相対論の本でよく見かけるものであり、ゼミでいい導出を見たのでそれを共有する。（多分これが一般的なのかも。）

問題設定

$x$ 系で静止している完全流体に対して、四元速度 $u^\mu$ で動く慣性系から見たエネルギー運動量テンソルを求める。

f:id:physics-heibon:20190510184502j:plain — こういう状況を考える。

静止系で見る完全流体は次の条件を満たす。
エネルギー保存： $\frac{\partial(\rho c^2)}{\partial t}=0$
運動量保存： $\frac{\partial p}{\partial x^i}=0~~(i=1,2,3)$
したがって、静止系でのエネルギー運動量テンソルは次のように書ける。
$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\\ \end{pmatrix}$

別の慣性系でのエネルギー運動量テンソル

静止系でのエネルギー運動量テンソルは次のように書ける。（簡単にチェックできる。）
$T^{\mu\nu} =(\rho c^2 +p)\delta^{\mu}_0\delta^\nu_0+p\eta^{\mu\nu}.$
後は $x^\prime$ 系でのエネルギー運動量テンソルは、Lorenz変換によって求められる。
$\begin{eqnarray} (T^\prime)^{\mu\nu}&=&\Lambda^\mu_\rho\Lambda^\nu_\sigma T^{\rho\sigma}\\ &=&\Lambda^\mu_0\Lambda^\nu_0(\rho c^2+p)+p\eta^{\mu\nu}~~~(\because \eta~はローレンツ不変)\\ &=&(\rho c^2+p)(u^\mu/c)(u^\nu/c)+p\eta^{\mu\nu} \end{eqnarray}$
ここで２行目から３行目は次を用いた。
$\begin{eqnarray} u^\mu&=&\Lambda^\mu_\nu v^\nu=\Lambda^\mu_0c,\\ {\rm ただし、}v^\nu:&=&\frac{{\rm d}x^\nu}{{\rm d}\tau} =\frac{{\rm d}}{{\rm d}\tau}(c\tau,0,0,0)=(c,0,0,0). \end{eqnarray}$