計量テンソルの微分の公式 - 平凡な社会人の日記

本稿の目的: 計量テンソルの微分の公式を導出する

本稿の対象: 一般相対論の初歩を知っている人

Contents

本稿のゴール
③の導出
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本稿のゴール

計量の微分について、次の３つの公式が成り立つ。

① $g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}= -g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}$

② $\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}= -g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\sigma}$

③ $\frac{\partial g(x)}{\partial x^\sigma}=g(x)g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}$

ここで $g(x):=\det g$ である。①、②はライプニッツ則などで簡単に導出できるので、③について見ていくことにする。

③の導出

③について、より一般的に、対角化可能な行列 $M$ について考える。計量は局所ローレンツ系の要請によっていつでもミンコフスキー計量にできるので、対角化可能な行列の一つである。行列を無理やり指数関数に直すと、
$\begin{eqnarray} \det M &=& \exp \left( \ln \det M \right)\\ &=&\exp\left(\ln \prod_i \lambda_i \right)~~~~~(\lambda_i : M の固有値)\\ &=&\exp\left(\sum_i\ln \lambda_i\right)\\ &=&\exp\left({\rm Tr} \ln M\right) \end{eqnarray}$
ここで1行目から2行目には、 $M$ が対角化可能という性質と $\det AB= \det A \det B$ を用いた。

したがって、
$\begin{eqnarray}\delta \det M &=& \exp\left({\rm Tr}\ln M\right)~~ \delta \left({\rm Tr}\ln M\right)\\ &=&\det M ~ {\rm Tr}\left(M^{-1}\delta M\right) \end{eqnarray}$
これに $M=g$ を対応させ、 $g_{\mu\nu}の逆行列がg^{\mu\nu}$ であることを思い出せば、③が導ける。